Winter Variation Case 4

16 Dec, 2025

我今天¹開始背 Winter Variation (WV)²，結果背到這個 case 莫名的覺得很順手，我自己都還搞不太清楚的時候就彷彿已經有肌肉記憶，甚至亂轉都可以轉出這個公式的反轉。所以我猜測這個公式應該是某個 OLL 或其他我已經背過的公式的一部份吧。於是我稍微研究了一下，發現它竟然是一個 F2L 基本型加上一個 3-cycle！我之前就有過寫一些方塊相關的內容的文章的想法，正好趁這個機會就來把它寫下來。

Corner 3-cycles

首先我要介紹 corner 3-cycle。corner 3-cycle 字面上的意思就是角塊做以三次為周期的循環。直接來看例子:

• Alg１: R' D' R U R' D R U'

這個公式作用一次後的結果如下圖:

可以發現只有三個角塊(corner pieces)受到影響。 如果我們將同一個公式作用第二次，會得到:

受影響的三個角塊在圖片中以順時針的方式移動位置。 如果將公式作用第三次，方塊將會復原:

由於這個公式作用三次後會復原，因此被稱作 3-cycle。 我使用 alg.cubing.net 的網頁做了上述公式作用的動畫版展示，可以點連結進去看看。

Commutator

這個段落其實跟主題沒有直接關係，只是一些名詞介紹。

一個三階魔術方塊在正常轉動下所有可能狀態的集合可以形成一個代數上的群，這個群被稱作魔術方塊群 (Rubik's cube group)。魔術方塊的狀態可以由轉動代號來描述(關於轉動代號，可以參考 J Perm 的介紹)。從完好的方塊出發，經由一組轉動代號，可以得到一個特定的狀態，我們可以將這個狀態看作是該轉動代號的對應狀態。例如轉動代號 R，對應到下圖的狀態:

(有些細心的人可能會發現，方塊的朝向會導致一個轉動代號對應到不同的狀態。為了簡單起見，在本文中我全部採用黃上藍前的初始方向。)

有了轉動代號和方塊狀態的對應，我們可以具體地寫下群運算的結果。給定兩個狀態，要得到這兩個狀態「相乘」的結果，只需要把它們對應的轉動代號串在一起就可以了。例如:

狀態 R 乘上狀態 U 會得到狀態 RU

然而，這個「乘法」並不滿足交換率，例如:狀態 U 乘上狀態 R 得到的狀態 UR 和前面的狀態 RU 並不相同

由於魔術方塊群具有這種不滿足交換律的性質，代數上我們定義一個東西叫做 commutator 來衡量任意兩個狀態到底「多不交換」。給定兩個狀態 $a$ 和 $b$ (任意兩串轉動代號)，它們的 commutator 被定義成

對於任意一個轉動代號 $a$，$a^{-1}$ 是它的反元素，也就是把轉動代號倒過來，並且順逆時針全部相反的轉動代號，例如: 轉動代號 RU 的反元素就是 U'R'。

如果 $a$ 和 $b$ 兩串代號剛好是滿足交換律的，則 $[a,b]$ 這一整串轉動代號對應到的狀態就會是復原的方塊。粗略地說，當一個 commutator 對應的狀態和復原的方塊差愈多，那麼這兩組轉動代號就愈「不交換」。

為什麼要提到 commutator 呢？其實，在第一節出現的 corner 3-cycle 公式就可以被看作是某個 commutator。令 $a=$ R' D' R，$b=$ U，則 $a^{-1}=$ R' D R，$b^{-1}=$ U'。那麼

正好就是我們最一開始提到的公式 Alg1！事實上，有很多魔術方塊的公式都包含了 commutator 在其中，甚至幾乎所有常用的 3-cycle 都是 commutator 或是 commutator 加上一些前置步驟(set up moves)。

Winter Variation case 4

終於進到今天的主題啦！接下來的內容就是要說明這個 WV case 以及我最後使用的公式是怎麼得到的。

首先我們複習一下一種 F2L 基本型 (對應的轉動代號為 R U R'):

(上面是同一個狀態的不同角度)

這是最簡單的一種 F2L 狀況，藍紅的F2L pair 只需要三步就可以歸位，所以又被稱做 3-mover。不過，這個情況和這一節最一開始的那張 WV case 4 圖片滿像的耶？實際上它們也真的很像，只有三個角塊不一樣。如果從這個 F2L 基本型開始，再做一遍 Alg 1 的 corner 3-cycle ，就會得到 WV case 4 了！

整個生成 case 4 的公式是: R U R' + R' D' R U R' D R U'

那麼，只要將生成公式反過來做，就可以得到 WV case 4 的解法了。

• Sol1: U R' D' R U' R' D R2 U' R' (展示)

個解法已經相當不錯，也滿順手的，不過我們還可以嘗試找看看有沒有可能有抵銷步。

重新觀察一下整個解法，我們要做的事情只有兩件，corner 3-cycle 跟放入 F2L pair。放入 F2L pair 的步驟只有三步: R U' R ，而Sol1的做法是先完成 3-cycle 再做 R U' R。找抵銷步的一個方法是把步驟從中間拆開，之後先去做另外一個步驟再回來看看發生什麼事情。從WV case 4 開始

我們不妨嘗試看看先做一步 R，這時候狀態會變成:

需要進行 3-cycle 的三個角塊位在:

我們需要在背後做 3-cycle ，這時候可以用和Alg 1的互為鏡像的 Alg 2，這個公式只是將Alg 的所有順逆時針都顛倒過來而已。

• Alg2: R D R' U' R D' R' U

同為 3-cycle，Alg2 也是三次後會還原方塊。Alg2 在方塊上作用一次、兩次和三次的情況如下圖):

插入Alg2 完成 3-cycle 後再把放入 F2L 的剩下步驟 (U' R) 完成，就可以得到另外一個 WV case 4 的解法了，完整解法如下:

• Sol2: R + R D R' U' R D' R' U + U' R'

幸運的是，Alg2 最後的 U 和放入 F2L 的 U' 可以抵銷，並且我們可以合併開頭的兩個 R 變成 R2，則解法可以改寫成:

• Sol2': R2 D R' U' R D' R' R'

尾段的兩個 R' 還可以再合併變成 R'2，因此我們最後得到的解法為:

• Sol2'': R2 D R' U' R D' R'2 (展示)

這個解法就是我參考的 WV公式表 所給的做法，比 Sol1 的步數少，並且也很順手。雖然開頭是 R2 所以可能會需要做一個 regrip ，但感覺做起來還是會比 Sol1 快一些。

#cubing